Важный фактор, который надо постоянно иметь в виду при обсуждении численных методов, состоит в том, что происхождение используемых уравнений связано с физическими законами сохранения. Соответствующая численная модель должна воспроизводить эти законы. Например, никто не запрещает использовать линейную и более высокую аппроксимацию в рамках МКР. Но есть важная причина, по которой ее обычно не используют. Причина эта связана со свойствами закона сохранения энергии: изменение тепла в выделенном объеме определяется потоком тепла через границу и влиянием источников внутри области. Поскольку поток тепла равен произведению коэффициента теплопроводности на градиент температуры, то линейная аппроксимация функций приводит к несогласованности потоков тепла между различными ячейками (задание линейной аппроксимации уже определяет значение производных внутри элемента, поэтому значения потоков тепла на границе элементов с разных сторон будут различны, см. рис. 1). Поэтому то, что на первый взгляд кажется достоинством МКЭ (а именно: линейная аппроксимация функций и использование этой аппроксимации для построения уравнений) - на самом деле может оказаться недостатком этого метода. Небольшая разница потоков может достаточно существенно проявляться в динамике фазового перехода, поэтому при использовании линейных и более высоких аппроксимаций необходима коррекция потоков, гарантирующая локальную справедливость законов сохранения. В противном случае разность потоков тепла по разные стороны от границы будет приводить к выделению тепла на границе без всякой физической причины.
В инженерных задачах, где основное внимание уделяется конструкции, расчету прочностных и механических характеристик, геометрия поверхности очень важна для распределения нагрузок, а значит для правильного расчета всей конструкции. Количество используемых элементов в таких задачах выбирается минимально-необходимым для правдоподобного воспроизведения геометрии конструкции. Поэтому в инженерных расчетах МКЭ имеет гигантское преимущество перед МКР, приводя к значительно меньшему количеству элементов и, соответственно, к меньшему времени расчета. Но все это преимущество исчезает, как только дело касается физико-химических задач. Действительно, при рассмотрении процесса затвердевания для каждого расчетного элемента необходимо определить момент времени, когда затвердевание начнется в данном конкретном элементе, а затем вычислить количество тепла, выделяемое за счет скрытой теплоты кристаллизации. Поскольку количество выделяющегося тепла нелинейно зависит от температуры, расчет процесса затвердевания приводит к определенным требованиям на характерный размер ячеек по пространству и на шаг по времени, превышение которых может привести к существенному изменению температурных кривых затвердевания. Соответственно, компьютерные ресурсы (количество ячеек и требуемое время расчета), необходимые для решения задачи затвердевания, должны быть примерно одинаковы в обоих подходах, в силу того, что размер элементов определяется не желанием создателей пакетов и не красотой границ, а диктуется объективной необходимостью правильного учета фазового перехода в рамках фазовых диаграмм системы.
В МКР для тепловой задачи значение температуры помещается обычно в центре кубика, так что используемая аппроксимация является кусочно-постоянной. Выигрыш, по сравнению с МКЭ, состоит в простоте построения расчетной сетки и эффективных методах расщепления, т.е. в последовательном сведении процедуры обращения исходной матрицы к обращению трехдиагональных матриц методом прогонки [6].
Так, например, МКЭ лучше (более гладко) аппроксимирует границу расчетной области. Поскольку обычно элементом в МКЭ является тетраэдр, то значения температуры в четырех вершинах тетраэдра определяют плоскость в пространстве, которая и задает кусочно-линейную аппроксимацию температуры внутри тетраэдра. После интегрирования по элементу такая аппроксимация приводит к замене исходного уравнения в частных производных на матрицу конечной размерности, вообще говоря, не имеющей какой-либо простой структуры. В результате, моделирование соответствующего закона сохранения сводится к итерационному обращению всей матрицы в целом, например, методом сопряженных градиентов [8].
Аппроксимация функций. Естественно, что у каждого из методов (МКР и МКЭ) есть свои достоинства и недостатки. Каждый из них соответствует определенному классу задач и приводит к некоторым проблемам в других областях.
Перечисленные причины заставляют обратиться к численным методам, которые подразумевают дискретизацию пространства с помощью набора простейших элементов, представляющих в простейшем случае кубики в МКР и тетраэдры в МКЭ. При численном моделировании обычно также подразумевается дискретность времени, так, что все физические величины оказываются заданными лишь в определенные моменты времени. Наличие дискретности приводит к необходимости построения аналогов законов сохранения, используемых при моделировании, соответственно, на разностной сетке [6] и конечных элементах [7].
- сложностью геометрии реальных отливок.
коэффициентов от температуры;
- неоднородностью свойств отливки, связанной с зависимостью теплофизических
- учетом реальных граничных условий теплообмена;
- переносом тепла за счет конвективных потоков в жидкой фазе;
- выделением тепла при фазовом переходе, описываемым сложной диаграммой состояния;
Тепловая задача. Закон сохранения энергии, моделируемый во всех без исключения литейных пакетах, в случае однородных сред сводится к обычному уравнению теплопроводности, которое само по себе является линейным уравнением, и методами его решения занимаются, примерно, со средины XVIII века. Но описание реальных процессов затвердевания приводит к значительным отличиям от классической краевой задачи за счет множества факторов, наиболее важные из которых связаны с :
1.Физико-математические модели литейных процессов и численные методы решения. Известно, что основой любого пакета прикладных программ является физико-математическая модель определенных процессов (в данном случае происходящих при затвердевании металлов и сплавов), обычно формулируемая в виде дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих основные законы сохранения: энергии, импульса и т.д. Так, закон сохранения энергии обычно моделируется в так называемой тепловой задаче, учитывающей процесс перераспределения тепла за счет теплопроводности, конвекции и наличия различных источников. Кроме тепловой задачи пакет может включать в себя модели массопереноса (гидродинамика течения жидкости и диффузионные процессы), модели упругой и пластической деформации, модели образования газовой и усадочной пористости, модели структурообразования и т.д. Все перечисленные модели, в конечном счете, связаны между собой, поскольку, понятно, что конвективный перенос тепла и примесей за счет движения жидкой фазы окажет значительно более сильное влияние на перераспределение, чем за счет их диффузионного распространения. В свою очередь, на характере течения может сказаться шероховатость и проницаемость твердеющей поверхности отливки, наличие пузырей, возникающих при заливке металла, и т.д. В целом процесс затвердевания является существенно нелинейным, связанным с самоорганизацией затвердевающей среды в условиях отсутствия равновесия. Даже не пытаясь охватить всю картину одним взглядом, сосредоточимся сначала на отдельных сторонах задачи моделирования литейных процессов.
Для начала хотелось бы отметить одно обстоятельство, которое бросается в глаза при чтении [1-5]: все статьи, при обсуждении численных методов, пестрят утверждениями в духе: " ...МКР более старый и менее скоростной. МКЭ более современный, прогрессивный и гораздо более подходит для решения основных литейных процессов , [5]", " имеет смысл дать некоторые пояснения относительно методов расчета - методе конечных разностей и методе конечных элементов. Эти методы серьезно различаются по достоверности решения [4]", или, " К самым большим недостаткам MagmaSoft следует отнести разностный метод расчета [4]", или "Конечно-элементный подход более "сильный", т.е. на уровне исходных посылок точнее соответствует уравнениям задач теории поля [3]", которые трудно назвать профессиональными и даже просто грамотными. Скорее - это всего лишь необоснованные по сути высказывания. Поэтому, чтобы разобраться в существе вопроса сначала кратко рассмотрим наиболее важные аспекты физико-математического моделирования литейных процессов, необходимые для правильного понимания задач в области моделирования, а после этого вернемся к анализу некоторых откровенно неправильных утверждений, сделанных в публикациях [1-5].
В последние годы, в печати и электронных средствах информации разработчиками ППП "Полигон" г.Санкт-Петербург, в частности г. А.М.Тихомировым, регулярно распространяются материалы [1-5] (список источников в конце статьи), в которых содержатся рекомендации по выбору систем компьютерного моделирования литейных процессов и проводится их сравнительный анализ, основным лейтмотивом которого является обсуждение численных алгоритмов, лежащих в основе различных систем. Без сомнения, основная цель этих публикаций - реклама своей продукции, что не является предосудительным для любого производителя товаров и услуг, если за этим не стоит попытка ввести потенциального покупателя в заблуждение. А именно такое ощущение возникает от чтения данных материалов. Поскольку в данных публикациях вопрос о преимуществах пакета программ увязывается с вопросом о численных методах, имеет смысл продолжить начатую дискуссию, осветив данную тему с различных сторон.
Лебедев В.Г., Попов А.Г. НПО МКМ 2005
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИТЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ: ЖЕЛАЕМОЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИТЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ:ЖЕЛАЕМОЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ.
Комментариев нет:
Отправить комментарий